Le paradoxe de Berry
J'ai entendu cette histoire dans la tête au carré et la voici retranscrite ici.
Prenons d'abord un exemple plus simple et imaginons qu'un message twitter se compose d'un maximum de 1 caractère. Et imaginons que nous ne ne disposions que des lettres de l'alphabet dans notre ensemble de caractères ainsi que de l'espace, soient 27 caractères (sans compter les majuscules, donc).
On pourra donc écrire sur ce twitter simpliste un maximum de 27 messages différents (définissant au passage les 27 caractères que nous nous sommes autorisés à utiliser).
En fait, twitter permet de composer des messages avec 140 caractères par message. Ce qui permet néanmoins d'écrire un nombre fini de messages twitter. Ce nombre est évidemment très grand, mais il est fini.
Imaginons maintenant un sous-ensemble de ces messages nous permettant de définir des nombres entiers. Par exemple : "le troisieme nombre entier positif" (on conserve notre ensemble de caractères — les 26 lettres de l'alphabet et l'espace — c'est pourquoi troisieme n'a pas d'accent). Ce message définit le nombre 3.
D'autres exemples :
- le plus petit nombre a trois chiffres : 100
- le troisieme nombre premier : 5
- le plus grand commun diviseur des nombres six et neuf : 3
Nous savons que l'ensemble des nombres entiers est infini : imaginez le plus grand nombre possible et ajoutez-lui un.
Mais nous avons vu que nous avions un ensemble fini de message twitter permettant de définir les nombres entiers.
Donc nous ne pouvons pas définir l'ensemble des nombres avec un nombre fini de messages.
Mais prenons le plus petit entier non définissable par un de ces messages twitter. On pourrait le définir par "le plus petit entier non definissable par un message twitter". Cette définition comporte bien moins de 140 caractères et vient de permettre de définir un nombre que nous avions choisi comme étant non définissable dans notre règle.
PARADOXE !
Le paradoxe de Berry a été proposé par Bertrand Russel comme nous l'explique la page wikipedia dédiée au paradoxe de Berry.
Vous pouvez retrouver la vie de Bertrand Russel dans l'excellent roman graphique Logicomix ou sur son site officiel.
Illustrations:
